组合总和Ⅳ

377. 组合总和 Ⅳ

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 1000
• nums 中的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 1000

进阶：如果给定的数组中含有负数会发生什么？问题会产生何种变化？如果允许负数出现，需要向题目中添加哪些限制条件？

方法一：回溯（超时）

我们可以画出搜索路径，很自然写出如下回溯代码

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        int res = 0;
        for(int start = 0; start < n; ++start){
            res += backtrack(nums, target, nums[start]);
        }
        return res;
    }

    public int backtrack(int[] nums, int target, int cur){
        int n = nums.length;
        if(cur > target){
            return 0;
        }
        if(target == cur){
            return 1;
        }
        int res = 0;
        //每次进入下一层都是从 1 开始
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            res += backtrack(nums, target, cur + nums[i]);
        }
        return res;
    }
}

方法二：动态规划

用 dp[x] 选取的元素之和等于 x 的方案数，目标是求 dp[target]。动态规划的边界是 dp[0] = 1。只有当不选取任何元素时，元素之和才为 0 ，因此只有 1 种方案。

当 1 <= i <= target时，如果存在一种排列，其元素之和等于 i，则该排列最后一个元素一定是数组 nums 种的元素。假设该排列最后一个元素是 num，则一定有 num <= i，对于元素之和等于 i - num 的每一种排列，在最后添加 num 之后可以得到一个元素之和等于 i 的排列，因此在计算 dp[i] 时，应该计算所有的 dp[i - num] 之和。

当 1 <= i <= target时，得到如下转移方程：
$$
dp[i] = sum(dp[i - num]), num \leq i
$$
初始状态 dp[0] = 1。

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i < dp.length; i++){
            for(int num : nums){
                if(num <= i){
                    dp[i] += dp[i - num];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

• 时间复杂度O(target * n)，target 是 目标值，n 是 数组 nums 的长度。
• 空间复杂度O(target)