n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
上图为 8 皇后问题的一种解法。
给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例：
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| 输入：4
输出：[
[".Q..", // 解法 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],
["..Q.", // 解法 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]ss
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
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提示：
- 皇后彼此不能相互攻击，也就是说：任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。
方法一：基于集合的回溯
直接暴力枚举将 n 个皇后放在棋盘中。每行每列仅有一个皇后，且任何两个皇后都不能在同一条斜线上。
使用三个集合 columns、diagonals1，diagonals2 分别记录每一列以及两个方向斜线上是否有皇后。我们从第一行开始，每行放一个皇后，这样每行就只有一个皇后。
方向一的斜线为从左上到右下，同一条斜线上的每个位置满足行下标与列下标之差相等。
方向二的斜线为从右上到左下，同一条斜线上的每个位置满足行下标与列下标之和相等。
每次放置皇后时，对每个位置判断其是否在三个集合中，如果都不在，当前位置可以放置皇后。
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| class Solution {
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
List<List<String>> solutions = new ArrayList<List<String>>();
int[] queens = new int[n];
Arrays.fill(queens, -1);
Set<Integer> columns = new HashSet<Integer>();
Set<Integer> diagonals1 = new HashSet<Integer>();
Set<Integer> diagonals2 = new HashSet<Integer>();
backtrack(solutions, queens, n, 0, columns, diagonals1, diagonals2);
return solutions;
}
public void backtrack(List<List<String>> solutions, int[] queens, int n, int row, Set<Integer> columns, Set<Integer> diagonals1, Set<Integer> diagonals2) {
if (row == n) {
List<String> board = generateBoard(queens, n);
solutions.add(board);
} else {
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (columns.contains(i)) {
continue;
}
int diagonal1 = row - i;
if (diagonals1.contains(diagonal1)) {
continue;
}
int diagonal2 = row + i;
if (diagonals2.contains(diagonal2)) {
continue;
}
queens[row] = i;
columns.add(i);
diagonals1.add(diagonal1);
diagonals2.add(diagonal2);
backtrack(solutions, queens, n, row + 1, columns, diagonals1, diagonals2);
queens[row] = -1;
columns.remove(i);
diagonals1.remove(diagonal1);
diagonals2.remove(diagonal2);
}
}
}
public List<String> generateBoard(int[] queens, int n) {
List<String> board = new ArrayList<String>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
char[] row = new char[n];
Arrays.fill(row, '.');
row[queens[i]] = 'Q';
board.add(new String(row));
}
return board;
}
}
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- 时间复杂度O(n!)
- 空间复杂度O(n)，n 是皇后数量。