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地下城游戏

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174. 地下城游戏

一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。

-2 (K) -3 3
-5 -10 1
10 30 -5 (P)

说明:

  • 骑士的健康点数没有上限。
  • 任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

很容易想到使用动态规划，我们先尝试从左上到右下的顺序进行动态规划，对于每一条路径，我们需要同时记录两个值。第一个是「从出发点到当前点的路径和」，第二个是「从出发点到当前点所需的最小初始值」，这两个值的重要程度相同。

image-20200712115157247

  • 绿色路径，「从出发点到当前点的路径和」为 1 ，「从出发点到当前点所需的最小初始值」为 3。
  • 蓝色路径，「从出发点到当前点的路径和」为 -1 ，「从出发点到当前点所需的最小初始值」为 2。

我们应该选择绿色路径，因为蓝色路径的路径和太小，需要初始值为 4 才能到达终点 -2，而绿色路径只需要初始值为 3 即可到达终点 -2 。如果我们将终点 -2 换为 0，我们就应该选择蓝色路径，蓝色路径需要初始值为 2 ，绿色路径需要初始值为 3。

如果从左上到右下进行动态规划，我们无法确定到达(1, 2) 的方案，这样的动态规划是不满足「无后效性」的。

我们考虑从右下到左上进行动态规划。令dp[i][j]表示从坐标(i, j)到终点所需的最小初始值。当在坐标(i, j)时，如果此时路径和不小于dp[i][j]，我们就能到达终点。这样一来，我们就无需关心路径和，只需关注最小初始值。对于 dp[i][j]，我们只要关心dp[i][j + 1]和dp[i + 1][j]的最小值 minn。记当前格子的值为 dungeon(i, j)，那么在坐标(i, j)的初始值只要达到 minn - dungeon(i, j)即可。同时，初始值还必须大于 1 ，得到状态转移方程：
$$
dp[i][j] = max(min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon(i, j), 1)
$$
最终答案为 dp[0][0]。

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class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {

        int m = dungeon.length,  n = dungeon[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        //dp 边界无效值
        for(int i = 0; i <= m; i++){
            Arrays.fill(dp[i], Integer.MAX_VALUE);
        }
		//初始条件，最小初始值为 1
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
        for(int i = m - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = n - 1; j >= 0; j--){
                //找出能到达终点的最小初始值
                int minn = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]);
                //计算 dp[i][j] 的最小初始值
                dp[i][j] = Math.max(minn - dungeon[i][j], 1);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(mn)。