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新21点

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837. 新21点

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1**：

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输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例 2：

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输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例 3：

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输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

提示：

  1. 0 <= K <= N <= 10000
  2. 1 <= W <= 10000
  3. 如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
  4. 此问题的判断限制时间已经减少。

爱丽丝获胜的概率只和下一轮开始前的得分有关，因此根据得分计算概率。令 dp[x] 表示从得分为 x 的情况开始游戏并且获胜的概率，目标是求 dp[0] 的值。

根据游戏规则，当分数大于等于 K 时，游戏结束，游戏结束时，如果分数不超过 N 则获胜，分数超过 N 则失败。

对于示例 3 ，我们可以列出以下表格

0 … 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
0.5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

抽到的最大数字为 16 + 10，当最后结果为 17 ~ 21 时获胜概率为 1 （结果小于等于 N），当最后结果为 22 ~ 26 时获胜概率为 0 （结果大于N）。

则 dp[16] = ( dp[16+1] + dp[16+2] + … +dp[16+10] ) / 10，结果为 0.5。

dp[15] = ( dp[15+1] + dp[15+2] + … +dp[15+10] ) / 10，结果为 0.55。

得到公式

dp[x] = ( dp[x+1] + dp[x+2] + … +dp[x+W] ) / 10。

我们可以使用两层循环来求解，但会超出时间限制。

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class Solution {
    public double new21Game(int N, int K, int W) {
        if(K == 0){
            return 1.0;
        }
        //初始化 dp 数组最后 W 个元素
        double[] dp = new double[K + W];
        for(int i = K; i <= N && i < K + W; i++){
            dp[i] = 1.0;
        }
        //从后往前按照公式依次计算 dp 数组中的值
        for(int i = K - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = 1; j <= W; j++){
                dp[i] += dp[i + j] / W;
            }
        }
        return dp[0];
    }
}

时间复杂度是 O(N+KW) ，空间复杂度 O(n)。

上述dp[15] 和 dp[16]公式相减得到：

dp[15] = dp[16] - dp[16 + 10] / 10 + dp[16] / 10;

更一般地得到：

dp[x] =dp[x+1] - dp[x+1+W] / W +dp[x+1] / W。其中 x 取值范围为 [0, K-1)。

只有当 x 在[N, min(K + W + 1)] 范围内时才有 dp[x] = 1,因此可以在 O(1) 时间复杂度求出 dp[K - 1]。

dp[k - 1] = (min(N, K + W - 1) - K + 1) / W = ( min(N - K + 1, W) ) / W。

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class Solution {
    public double new21Game(int N, int K, int W) {
        if(K == 0){
            return 1.0;
        }
        double[] dp = new double[K + W];
        for(int i = K; i <= N && i < K + W; i++){
            dp[i] = 1.0;
        }
        //计算 dp[K - 1]
        dp[K - 1] = 1.0 * Math.min(N - K + 1, W) / W;
        //利用公式计算 dp 数组
        for(int i = K - 2; i >= 0; i--){
            dp[i] = dp[i + 1] - (dp[i + W + 1] - dp[i + 1]) / W;
        }
        return dp[0];
    }
}

时间复杂度是 O(min(N,K+W))，空间复杂度 O(K+W)。