不同路径

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

• 1 <= m, n <= 100

• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

我们使用 dp[i][j] 来存储到达 (i,j) 的最多路径，由于机器人只能向下或向右，则 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] 。对于第一行 dp[0][] 和第一列 dp[][0] 只能有一条路径到达，所以它们的值全部为 1 。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] counts = new int[n][m];
        //第一行和第一列全为 1 
        for(int i=0; i<n; ++i)counts[i][0] = 1;
        for(int i=0; i<m; ++i)counts[0][i] = 1;
        for(int i=1; i<n; i++){
            for(int j=1; j<m; j++){
                //dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
                counts[i][j] = counts[i-1][j] + counts[i][j-1];
            }
        }
        return counts[n-1][m-1];
    }
}

时间复杂度为O(mn)，空间复杂度为 O(mn)。

优化空间复杂度 为 O(n)

由于只需要dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] ，我们只用使用一个一维数组存储上一行的数据。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] cur = new int[n];
        Arrays.fill(cur,1);
        for (int i = 1; i < m;i++){
            for (int j = 1; j < n; j++){
                //cur[j] 为 dp[i-1][j]，cur[j-1] 为 dp[i][j-1]。
                cur[j] += cur[j-1] ;
            }
        }
        return cur[n-1];
    }
}

时间复杂度为O(mn)，空间复杂度为 O(n)。